2023.01.27 已知 a = 110⁵ – 67⁵ – 43⁵，b = 110³ – 67³ – 43³，請選出正確的選項。
(1) a 與 b 除以 23 的餘數相同。
(2) a 的正因數中，最大的質因數比 500 還大。
(3) a 是一個 10 位數。
(4) a 能 b 被整除。
(5) 50a > b²。
解：設 x = 67，y = 43 => x + y = 110
( x + y )³ – x³ – y³ = 3x²y + 3xy² = 3xy( x + y )
( x + y )⁵ – x⁵ – y⁵ = 5x⁴y + 10x³y² + 10x²y³ + 5xy⁴ = 5xy( x³ + 2x²y + 2xy² + y³)
= 5xy( x + y )( x² + xy + y²)
(1) 若 a ≡ b <=> a – b ≡ 0 (同餘 23)
a – b = xy( x + y )(5x² + 5xy + 5y² – 3)
先考慮 5x² + 5xy + 5y² – 3 = 5[ ( x + y )² – xy ] – 3 其中 x + y ≡ 18 ，( x + y )² ≡ 2，xy ≡ 6
≡ 5(2-6) – 3 = -23 ≡ 0，所以 a – b ≡ 0 ，正確。
(2) a = 5 × 67 × 43 × 110 × [ ( x + y )² – xy ] = 5 × 67 × 43 × 110 × 9219
= 5 × 67 × 43 × 110 × 3 × 7 × 439 ，最大為 439 不正確。
(3) 承 (2) a = 5 × 67 × 43 × 110 × 9219 > 5 × 2000 × 1000000 = 10000000000
a 至少 11 位數，不正確。
(4) 由 (2) a = 5 × 67 × 43 × 110 × 3 × 7 × 439，而 b = 3× 67 × 43 × 110，正確。
(5) 設 50a > b² => 250xy( x + y )( x² + xy + y²) > [3xy( x + y )]²
250 × 9219 > 9 × 67 × 43 × 110 = 990 × 2881 = 288.1 × 9900
不正確。
答：(1)(4)